Blog de Temas de Probabilidad UPIICSA

PROBABILIDAD

1- CONJUNTOS

Es la colección de cosas con características en común, generalmente se representa usando llaves "{ ... }" y dentro de ellas los elementos del conjunto. 

Operaciones con conjuntos
Ejemplos

Se tienen los conjuntos:
A = {1,2,3,4,5,6}  Numeración del 1 al 6
B = {2,4,6,8,10}   Primeros cinco números pares
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Primeros diez números naturales

Unión
A υ B = {1,2,3,4,5,6,8,10} Se unen los conjuntos A y B sin que haya repetición de algún valor que se encuentre dentro de los dos conjuntos.

INTERSECCIÓN 
La intersección de dos conjuntos son los elementos que se encuentran tanto en el conjunto A como en el conjunto B y viceversa, es decir:
A n B = {2,4,6}

RESTA
Son todos los elementos que están en A pero que no estén en B
A - B = {1,3,5}
B - A = {8,10}

COMPLEMENTO
Para entender el complemento es necesario saber cual es el conjunto universo, aquí se refiere al conjunto U que es un conjunto más grande, de la cual A y B  son subconjuntos y que son parte de ese universo.
Entonces decimos que el complemento de un conjunto van a ser los elementos que no están en ese conjunto y que están en el universo.

A^c   = {7,8,9,10}

B^c  = {1,3,5,7,9}




2- TÉCNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de obtener sin enumeración directa en forma rápida, y así poder obtener el número de estos eventos más rápido.

Principio fundamental de conteo

Si un experimento puede efectuarse de dos maneras, en la primera se realiza de n formas diferentes y correspondiendo a cada una de estas, una segunda forma se lleva a cabo de m maneras diferentes, entonces el número total de formas distintas de efectuar este experimento es el producto de nm.

Para esto se darán ejemplos de las siguientes técnicas de conteo;

Regla de nxm

Regla de permutación (lleva un orden) nPr

Regla de combinación (no hay orden) nCr

Ejemplos:

Regla de nxm

En el área de innovación de la empresa de Sabritas.

Un producto para incluirse en el mercado tiene la posibilidad de escoger entre 5 colores, 6 diseños y 2 presentaciones. ¿De cuantas maneras pueden combinar los elementos para dicho producto?

Solución

Para este problema se debe de identificar cada una de las partes, y se le asignara una letra del abecedario (A,B,C) y se multiplicara solamente.

Datos                                       Formula                                              Resultado

A=5 colores                             AXBXC                                              5X6x2=60

B=6 diseños

C=2 presentaciones

¿de cuántas maneras puede repartirse 3 premios a un conjunto de 20 personas, suponiendo que una persona no puede obtener más de un premio?

Solución

Aplicando el principio fundamental de conteo, se puede tener 20 personas que ganen el primer premio, una vez que se le da el premio esta persona ya no puede obtener uno así que solo para el segundo lugar quedarían 19 personas y así sucesivamente para el tercer premio solo lo puede ganar 18 personas.

Datos                                       Formula                                              Resultado

Premios= 3                          AXBXC                                      20X19x18= 6840

Personas= 20

Regla de permutación

¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los números dígitos, si no se vale repetir ninguno de ellos?

Solución                                                                            

Datos	Formula	Resultado
n= 10	nPr =
r=3		720 formas

20 estudiantes participan en un concurso de matemáticas. ¿De cuántas formas podrán ser otorgados el primero, segundo, tercer y cuarto premios, si no esta considerado el empate?

Solución

Datos	Formula	Resultado
n= 20	nPr =
r=4		116,280 formas

Regla de combinación

Susana tiene 10 pelotas de diferentes colores en una bolsa. ¿De cuántas formas distintas, puede sacar 3 pelotas?

Solución

Datos	Formula	Resultado
n= 10	nCr =
r=3		120 formas

de 23 estudiantes que forman parte del equipo de fútbol de UPIICSA el entrenador va a elegir a 11 de ellos aleatoriamente para que representen la escuela. ¿De cuántas maneras es esto posible?

Datos	Formula	Resultado
n= 23	nCr =
r=11		1,352,078 formas

^{3- REGLA DE BAYES}

 Es un caso especial la probabilidad condicional que se aplica cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió primero dado lo que ocurrió después.

Formula

^Ejemplos

En el examen de aplicación de la UNAM se obtienen la siguiente información:

De los estudiantes que terminaron regulares el primer año de superior, 70% de ellos proviene de una preparatoria oficial; de los alumnos que no salieron regulares durante su primer año de superior el 50% de ellos cursaron el bachillerato en una escuela ajena a la UNAM, si se sabe que sólo el 55% de los alumnos de primer año de superior salieron regulares, ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que salió irregular sea, un alumno de preparatoria? ¿de una escuela ajena de la UNAM? ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante de la UNAM sea regular? ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante de otra escuela sea regular?  

Examen UNAM	70% prepa .70	30 % otra escuela .30
	Regular= 55% Irregular= 45%	Regular= 45% Irregular=65%

Total de irregulares                                      Total de regulares

(.70)(.45)+(.30)(.55)= .48 irregulares            (.70)(.55)+(.30)(.45)= .52

En una empresa de logística se tiene 45% de ingenieros, 35% de abogados y 20 % otras profesiones, ¿Cuál es la probabilidad de que un directivo sea abogado?

Empresa de logística	45% ingenieros .45	35% abogados .35	20% Otras profesiones .20
	60% directivos .60	48% directivos .48	32% directivos .32

En una empresa de autopartes tienen una alarma, la probabilidad de que ocurra un accidente es de 15% y la probabilidad de que no ocurra ningún accidente es del 85%, y la probabilidad de que suene si hay un accidente es del 95% y 5% de que no suene, y cuando no hay ningún accidente la probabilidad de que suene es del 4% y 96% de que no suene, si suena la alarma ¿cuál es la probabilidad de que suene y no haya habido un accidente?

Respuesta

4-DISTRIBUCIONES CONTINUAS

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Para una variable aleatoria X en terminos de los valores de un intervalo cerrado [A,B], es decir, es el área bajo la curva de la función f(x) en ese intervalo y se representa por P(x).

Formulas

1- f(x) ≥ 0        Valor real

2- ∫ f(x) dx = 1   Función de densidad de probabilidad

3- F(x) = ∫ f(x) dx Función acumulada

4- u = ∫ x f(x) dx Media

5-E (x²) = ∫ x²  f(x) dx  Esperanza matematica

6- E (x²) - U²  Varianza

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Si x una variable continua con:

F(x) = {1 / b – a } Si  a ≤ x ≤ b        Su función de densidad, entonces podemos afirmar que es una función uniforme continua

a= Inicio  b= Fin

Media =  u = { a + b / 2 }

DISTRIBUCIÓN NORMAL

P ( x ≤  # ) = Q (z)  A lo más

P (x ≥  #) = Q (-z) Por lo menos

P (#1 ≤ x ≤ #2) = Q (z ≤ #2) - Q (z ≤ #1) 

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La distribución exponencial puede derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que las que enunciábamos al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable aleatoria , en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho.

Su función de densidad es:

La función de distribución se obtiene integrando a la densidad

Propiedades del modelo Exponencial

1. Su esperanza es α.
2. Su varianza es α².
3. Una propiedad importante es la denominada carencia de memoria, que podemos definir así: si la variable X mide el tiempo de vida y sigue una distribución Exponencial, significará que la probabilidad de que siga con vida dentro de 20 años es la misma para un individuo que a fecha de hoy tiene 25 años que para otro que tenga 60 años.
4. Cuando el número de sucesos por unidad de tiempo sigue una distribución de  Poisson de parámetro λ (proceso de Poisson), el tiempo entre dos sucesos consecutivos sigue una distribución Exponencial de parámetro α = 1/λ

Ejemplo:

Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla. S í 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?

Solución:

La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es:

 La | nos indica que la integral se va  a evaluar desde 8 hasta ¥




Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución Binomial,

n = 5

p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años

q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años

P(x ³ 2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 – p(x = 0, 1)

El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?

Solución:

  la l nos indica que la integral va a ser evaluada de 0 a 3

x = número de días en que un cliente es atendido antes de que transcurran 3 minutos

      x = 0, 1, 2,...,6 días

p = probabilidad de que un cliente sea atendido antes de que transcurran 3 minutos en un día cualquiera = 0.5276

q = probabilidad de que un cliente no sea atendido antes de que transcurran  3 minutos en un día cualquiera = 1- p = 0.4724

                   

                                                 

   = 0.11587 + 0.02157 = 0.13744